Kaos Kuramı -3.bölüm

Chaotic Dynamics

The map defined by x → 4 x (1 – x) and y → x + y if x + y < 1 (x + y – 1 otherwise) displays sensitivity to initial conditions. Here two series of x and yvalues diverge markedly over time from a tiny initial difference. 

In common usage, "chaos" means "a state of disorder". However, in chaos theory, the term is defined more precisely. Although there is no universally accepted mathematical definition  for a dynamical system to be classified as chaotic, it must have the following properties:

1. it must be sensitive to initial conditions;
2. it must be topologically mixing; and
3. its periodic orbits must be dense.

The requirement for sensitive dependence on initial conditions implies that there is a set of initial conditions of positive measure which do not converge to a cycle of any length.

[edit]Sensitivity to initial conditions

Sensitivity to initial conditions means that each point in such a system is arbitrarily closely approximated by other points with significantly different future trajectories. Thus, an arbitrarily small perturbation of the current trajectory may lead to significantly different future behaviour. an alternative, and in general weaker, definition of chaos uses only the first two properties in the above list. It is interesting that the most practically significant condition, that of sensitivity to initial conditions, is actually redundant in the definition, being implied by two (or for intervals, one) purely topological conditions, which are therefore of greater interest to mathematicians.

Sensitivity to initial conditions is popularly known as the "butterfly effect", so called by Edward Lorenz

nonlinear equation,graphical representation:

x → r x (1 – x). Each vertical slice shows the attractor for a specific value ofr. The diagram displays period-doubling as r increases, eventually producing chaos. 

Source:  wikipedia.org

Kaotik sistemleri tanımlama methodları:

Sistemin zamanla değişimini görüp,o sistemin kaotik olup olmadığına karar verebilmemiz için o sistemin zaman serilerine ihtiyacımız vardır. (zamana göre sistemin bir değişkeninin hareket dataları)

1 imkb 100 kağıdının 10 yıllık verisi,arıların 3 yıllık nüfus artışı datası, herhangi bir mekanik aletin zamanla titreşimleri. 

Bir zaman serisinin kaotikliğini sınayan başlıca metodlar:

Lyapunov Üstelleri: 

İlk defa Aleksandr Mikhailovich Lyapunov tarafından tanımlanan bu yöntem, bir zaman serisinin kaotik bileşenler içerip içermediğini anlamamıza yarayan matematiksel bir analiz yöntemidir. Lyapunov üsteli, bir sistemin olası durumlarını gösteren “çeker”ler üzerinde, başlangıçta yakın komşu olan iki rastgele noktanın birbirlerinden ayrılma derecesinin sayısal bir fadesidir. Eğer bu komşu noktalar hızla birbirlerinden ayrılıyorlarsa, hesaplanan en büyük Lyapunov üsteli pozitif bir değerde olacaktır ve bu da incelenen sistemin davranışının kaotik olduğuna dair önemli bir işarettir. Başka bir deyişle Lyapunov üsteli, “başlangıç şartlarına hassas bağlılık” özelliğinin sayısal bir göstergesidir.

En büyük Lyapunov üstelinin pozitif olması kaotik durumun bir gostergesidir. Laypunov üstellerinin sayısı sistemin kurgulandığı faz uzayının boyut sayısına göre değişir. Örneğin, üç boyutlu bir faz uzayında karşılaşılabilecek Lyapunov üstelleri (λ1, λ2, λ3) şöyledir; (-,-,-): sabit nokta, (0,-,-): limit döngü, (0,0,-): simit, (+,0,-): garip çeker (kaos). Lyapunov üsteli hesaplamaları genellikle uzun süreli ve temiz kaydedilmiş zaman serileri üzerinde en iyi sonucu verirken, daha kısa süreli ve kısmen gürültülü sinyaller üzerinde yapılacak hesaplamalar için ilave bazı algoritmalar kullanılması gerekir.

Poincaré Kesiti : 

Oluşturulan çekerler (attractor) genellikle çok karmaşık yapılara sahip olabilirler ve görsel olarak incelenmesi çoğu zaman oldukça zordur. Poincaré kesitleri olarak bilinen yöntem bu zorluğu aşmadaki en önemli yardımcılardan birisidir. Adından da anlaşılacağı üzere, bu yöntemle, karmaşık yapılı kaotik çekerlerin istenen herhangi bir noktasından geçen kesitler alınarak, bu kesitlerin görünümlerine ve özelliklerine göre sistem hakkında bazı yargılara varılabilir. Bu yöntem, canlı dokuların yapısını anlamak için onlardan ince kesitler alınarak mikroskop altında incelenmesine dayanan histoloji biliminin işlevine çok benzer.

Faz uzayına çizilen çekerlerden elde edilen kesitlerin görüntüleri sistemin dinamiği hakkında da bir fikir verir. Nasıl ki bir simitten alınan kesit bir daire veya elips olarak karşımıza çıkarsa, burada da kesitlerin görüntüleri, faz uzayındaki çekerin yapısı hakkında bize bir çok fikirler verir. Özetle söylemek gerekirse, Poincaré kesitindeki noktaların dağılımı tek ve küçük bir bölgede sonlu sayıda ise hareket periyodik, kapalı bir eğri ise hareket yarı periyodik, belirli alanlarda yoğunlaşmış kümeler şeklinde ise hareket kaotiktir.

Çeker oluşturma : 

Zamanla değeri değişen bir değişkenin kaotik analizi için ilk basamaklardan birisi genellikle sistemin davranışının faz uzayındaki görünümünün elde edilmesidir. Bir dizi karmaşık hesap gerektiren bu süreç, bilgisayarlar yardımıyla bugün kolaylıkla gerçekleştirilebilmektedir. MATLAB gibi yazılımların içinde bu işlem için kullanılabilecek hazır makro ve algoritmalar mevcuttur. Çeker oluşturmak için bilinmesi gereken en önemli parametre “gömme boyutu”  denen parametredir. Gömme boyutu, sistemin davranışlarını etkileyen bağımsız dinamik kaynakların sayısını tahmin eden bir hesaplamadır ve böylece incelenen sistemin davranışının en iyi biçmde görsel hale getirilebilmesi için kaç boyutlu bir faz uzayına ihtiyaç olduğu bu şekilde hesaplanır. Görsel tutarlılık açısından üç boyuttan daha büyük gömme boyutları pek tercih edilmese de bazı karmaşık kaotik sistemlerde çok daha büyük boyutlu faz uzaylarına ihtiyaç duyulabilmektedir. Gereken bir diğer parametre de “zaman gecikmesi”  parametresidir. Bu hesaplama sonucunda, zaman serisinin hangi zaman aralıklarında geciktirilerek grafiğe dökülmesi gerektiği hesaplanır.  

Doğrusalsızlığın Tesbiti : 

Bir zaman serisinde izlenen sinyallerin doğrusal olup olmadığını anlamanın da bazı matematiksel yolları vardır. Bir dizi karmaşık matematiksel teknikle, bilgisayarların hızlı işlem gücünü de kullanarak bugün bu işlemler hızlı bir biçimde yapılabilmektedir. Bu amaçla en çok kullanılan yöntem surrogate data analysis denen yöntemdir. Bu analiz tipinde, eldeki sinyalin bir bezerini oluşturmak için doğrusal  bir algoritma kullanılır ve üretilen yapay  sinyalle gerçek sinyal arasındaki ilişkiler incelenir. Eğer ilişki yoksa, sonuçta sinyalin doğrusal olmadığı gösterilmiş olur. Bu yöntemin yanında daha başka bir çok hesaplama tekniği de önerilmiştir fakat hepsinin de sadece belli durumlarda geçerli olmasına neden olan bazı zayıflıkları vardır .

Fraktal boyut analizi

Daha önce bahsedildiği gibi “fraktal” terimi, değişik ölçeklerde artarak karşımıza çıkan karmaşıklığın bir ifadesidir. Bir geometri alanı olmasının yanı sıra, özellikle zaman serilerinin karmaşıklık ve kaotiklik özelliklerini belirlemek için kullanılır. Fraktal sinyal analizi, fraktal doku analizi gibi farklı tekniklerin kullanıldığı bu tip analizlerde temel amaç zaman serisinin karmaşıklığının saptanmasıdır. Bir zaman serisinin fraktal boyutlarının artışı sürecin karmaşıklığının bir ölçüsü olarak kullanılmaktadır. 

Way of The Samurai: Ghost Dog

There is surely nothing other than the single purpose of the moment. A man's whole life is a succession of moment after moment. If one fully understands the present moment, there is nothing left to do, and nothing else to pursue.

At the end, everything happens for some reason.

 According to what one of the elders said, taking an enemy on the battlefield is like a hawk taking a bird. Even though it enters into the midst of a thousand of them, it gives no attention to any bird than the one it first marked.

Lou: Goddamn it. You shot me in the exact same fucking place as last time!
Ghost Dog: I'm sorry. I mean you no disrespect. You're my retainer. I don't want to put too many holes in you.

Ghost Dog: You know, in ancient cultures, bears were considered equal with men.
Hunter: This ain't no ancient culture here, mister.
Ghost Dog: Sometimes it is.

 The Way of the Samurai is found in death. Meditation on inevitable death should be performed daily. Every day, when one's body and mind are at peace, one should meditate upon being ripped apart by arrows, rifles, spears, and swords, being carried away by surging waves, being thrown into the midst of a great fire, being struck by lightning, being shaken to death by a great earthquake, falling from thousand-foot cliffs, dying of disease or committing seppuku at the death of one's master. And every day, without fail, one should consider himself as dead. This is the substance of the Way of the Samurai.

It is bad when one thing becomes two. One should not look for anything else in the Way of the Samurai. It is the same for anything that is called a Way. If one understands things in this manner, he should be able to hear about all ways and be more and more in accord with his own.

 If one were to say in a word what the condition of being a samurai is, its basis lies first in seriously devoting one's body and soul to his master.

 It is a good viewpoint to see the world as a dream. When you have something like a nightmare, you will wake up and tell yourself that it was only a dream. It is said that the world we live in is not a bit different from this.

Among the maxims on Lord Naoshige's wall, there was this one: "Matters of great concern should be treated lightly." Master Ittei commented, "Matters of small concern should be treated seriously."

Even if one's head were to be suddenly cut off, he should be able to do one more action with certainty. With martial valor, if one becomes like a revengeful ghost and shows great determination, though his head is cut off, he should not die.

In the words of the ancients, one should make his decision within the space of seven breaths. It is a matter of being determined and having the spirit to break through to the other side.

 There is something to be learned from a rainstorm. When meeting with a sudden shower, you try not to get wet and run quickly along the road. But doing such things as passing under the eaves of houses, you still get wet. When you are resolved from the beginning, you will not be perplexed, though you still get the same soaking. This understanding extends to everything.

 Our bodies are given life from the midst of nothingness. Existing where there is nothing is the meaning of the phrase "Form is emptiness." That all things are provided for by nothingness is the meaning of the phrase "Emptiness is form." One should not think that these are two separate things.

 When one has made a decision to kill a person, even if it will be very difficult to succeed by advancing straight ahead, it will not do to think about doing it in a long, roundabout way. One's heart may slacken, he may miss his chance, and by and large there will be no success. The Way of the Samurai is one of immediacy, and it is best to dash in headlong.

 It is said that what is called the Spirit of an Age is something to which one cannot return. That this spirit gradually dissipates is due to the world's coming to an end. In the same way, a single year does not have just spring or summer. A single day, too, is the same. For this reason, although one would like to change today's world back to the spirit of one hundred years or more ago, it cannot be done. Thus it is important to make the best out of every generation.

by  hagakure

3. Terim dönemi

AA

• 
  

Türk Blog camiasının en kral yazarlarından Parmamaniac'ın Eurosport'a Fatih Terim değerlendirmesi:

Galatasaray tarihinin muhtemelen en başarılı dönemi olan 1996-2000 sürecinden sonra rahmetli Özhan Canaydın'ın başkanlığı altında tekrar Galatasaray'a dönen Fatih Terim'in yaşadıkları ve yaşattıkları acı ve üzüntüden ibaretti. Evet, muhtemelen arkasında kendisine hiç yardımcı olmayan biryönetim buldu. İstediği transferler yapılmadı, yeni stat bahanesiyle biraz daha fazla para kazanabilmek adına takımAtatürk Olimpiyat Stadı'na sürüldü ve Terim ilk kez yalnız adam oynadı. Ama süreç içinde kendi hataları da fazlasıyla ön plandaydı. İtalya'ya kendi yarattığı takımla gittikten sonra orada tamamen farklı bir işleyiş gören Terim, ikinci döneminde her şeyin çok daha az emekle gerçekleşeceği sanrısına kapıldı. Kendisini ön plana çıkardı, maçları kaybettikten sonra faturaları kendi ödemeye kalktı. Hem kendisini Terim yapan, hem de ilk dönemde başarıya giden yolu unutmuş gibi görünüyordu. Daha fazla devam edemedi ve kırgın bir şekilde takımdan ayrılarak bir daha Türkiye'de çalışmayacağı açıklamasını yaptı. Ama herkes bunun böyle devam etmeyeceğini biliyordu.

Terim'in bir şansı daha olacaktı ama önemli olan kulüp tarafından bunun ne zaman kulanılacağıydı. Canaydın döneminden sonra yönetim zaafiyeti konusunda eskiyi aratan bir yapı sergilemeyi başaran Adnan Polat'ın başkanlığı altında bu konuda birkaç deneme yapıldı ve başarıya ulaşılamadı. 3. Terim dönemi için gerçek anlamda bir sil baştan gerekiyordu ve ani bir şekilde Galatasaray'ın başkanlığına gelen Ünal Aysal'ın bunu sağlayacağına dair nitelikli söylemleriyle birlikte yapılan Fatih Terim tercihi ilk 7 aylık süre zarfında başarıya ulaşmış görünüyor. Peki ya devamı? Umut var ama yönetim tabanlı sorunlar da şu anda takım performansıyla maskelenirken yeni problemler vadetme gücüyle sessiz ve derinden ilerliyor.

Sezon öncesi hazırlık ve transfer dönemini Galatasaray, 3. Fatih Terim döneminde de çok iyi kullanamadı. Teknik direktörlüğe geldikten kısa bir süre sonra yaptığı açıklamayla ilk planının çift forvetli bir 4-4-2 düzeni olduğunu söyleyen Terim, Baros'un üzerine eski yönetim tarafından yapılan Elmander transferinden rahatsızdı ve takımdaki önemli yapısal sıkıntılara rağmen çift forveti yürütmek için ilk olarak kendi kafasına uygun bir transfer önerisiyle yönetime gitti. Klasik 4-4-2'yle bir kenarda Arda'yı, diğer kenarda da yaratıcı başka bir oyuncuyu isteyen hocanın istekleri doğrultusunda Atletico Madrid'e gidip Reyes – Forlan – Ujfalusi üçlüsüyle birçok problemi tek bir hamleyle çözmek isteyen yönetim ve hocanın planları istedikleri gibi gitmedi. Üçgenin Forlan ve Reyes ayağında çıkan sorunlar tek Ujfalusi transferiyle bu defteri kapattı ve Atletico Madrid'in bundan bir süre sonra Arda Turan'ın aklını çelmesiyle birlikte Terim daha resmi bir maça çıkmadan çok büyük bir sorunla karşı karşıya kaldı.

İstenilen forvet transferinin yapılmadığı ve bunu çözmek için son anda Sercan Yıldırım transferinin Terim'in önüne konduğu ortamda hocanın bütün planlarını üzerine yaptığı oyuncunun kaybedilmesi fazlasıyla moral bozucuydu veLiverpool maçıyla büyük umut veren takımın önüne konan bir taştı. Arda Turan'ın ikamesi de Terim'in istediği şartlarda yapılamadı ve son anda gelen Albert Riera'yla takım sezona başladı. Felipe Melo, Tomas Ujfalusi,Emmanuel Eboue veFernando Muslera dışında muhtemelen kafasındakilerden çok daha farklı transferleri sahada gören Terim'in yaptığı ilkşey zayıf kalan takımın gücünü artırmak için sisteminden taviz vermek oldu. 3 merkez orta sahalı 4-3-3'e dönüldü ve eldeki iki gerçek forveti dönüşümlü kullanma yolu seçildi. Lige iyi giriş yapıldı ama bu sefer de bu sistemin yapısal bozuklukları özellikle hücumda takımı etkilemeye başladı. Kenarlarda oynayan Albert Riera ve Colin Kazım Richards birbirini tamamlamaktan ve açık/forvet oyuncu rolünün istediklerini yapmaktan uzaktı. Lige Baros'la giren, sonrasında Elmander'in artan performansıyla değişikliğe giden Terim, merkez orta sahada Selçuk, Melo ve son dakika transferi Engin Baytar'la istediği yapıyı inşa etmişti ama ileri üçlünün uyumsuzluğu hücumun yanında savunmayı da etkilemeye başladı ve Beşiktaş maçının ikinci yarısıyla birlikte sezon başının ana planı 4-4-2'ye dönüş süreci başladı.

Milan Baros gibi bir potansiyelin kenarda çürümesi ve atıl kalan kenarlar bu işlevsiz iki oyuncudan birini keserek ikinciforvetle takımın ileri ucunda tekrar bir yenilenme yaratma fikrini doğurdu. Merkezdeki eksilmeyi oradaki bir oyuncuyu ortasaha destekçisi olarak kenara çeken Terim, böylece 4-4-2 ve 4-3-3 arasında melez bir yapı kurarak Elmander'in yanına Baros'u yerleştirdi ve takım çok daha efektif bir yapıya büründü. İsveçli'nin ileride tuttuğu toplar orada artan oyuncu sayısıyla çok daha iyi kullanılmaya başladı. Riera ve Colin Kazım'ın yapamadığı ceza sahası koşuları da artan merkez forvet sayısıyla doğal bir şekilde Milan Baros tarafından yapılmaya başladı. Daha az kenar odaklı, merkez orta sahası biraz daha zayıf ama bunu Baytar'ı ve sonrasında Emre Çolak'ı içeri sokarak çözmeye çalışan asimetrik bir yapıyla Terim çok daha büyük avantaja çevirmeyi başardı.

Colin Kazım Richards'ın devre arasında Yumanistan'a transferiyle diğer kenarı da merkez orta saha orijinli Baytar'a teslim eden ve böylece ilk Terim dönemindeki yapıya yaklaşan bir takım oluşturan Galatasaray artık orta sahada çok dahadirençli ve ileride çok daha etkin. Ara transfer döneminde de istenilenlerin yapılamadığı ortamda son dakikada rotasyon yaratma adına takıma dahil olan Necati Ateş'in gösterdiği muazzam performans, sezon başından beri Milan Baros'a soğuk olan Terim'in forvetteki elini biraz daha güçlendirdi. Necati'yla hem son vuruş, hem de yaratıcılık adına daha özellikli görünen Galatasaray'ın son 4 haftaya ve Fenerbahçe deplasmanına 9 puan önde girişi bu sezon özelinde sürpriz değil. Galatasaray belki idari anlamda değil ama teknik yönden çok iyi yönetiliyor. Kısıtlı opsiyonlarla eldekinden en iyiyi çıkaran Terim'in her zaman eleştiri aldığı taktik zekasını tamamı değişmiş bir takımda bu kadar net bir şekilde ortaya koyması da takıma ve taraftara umut veriyor.

Fatih Terim ilk döneminde her şeyi kendi inşa etti ve kendini ispatladı. İkinci dönemindeki hatalarını tekrarlamayacağını Aysal döneminde başa gelir gelmez sadece Galatasaraylılığı öne çıkararak yaptığı konuşmalarla ifade eden Terim'in çokdaha ılımlı, yapıcı ve eleştiriye açık bir görünüm sergilemesi de sevindirici. Artık eskisi gibi hatalarında diretmeyen, ilk yarıda dahi değişiklik yapmaktan çekinmeyen Fatih Terim'in takımı play-off sisteminde şampiyon yapıp yapamayacağı hala muamma. Ama taraftar artık şunu çok iyi biliyor: Eğer Galatasaray yönetimi birbirini yemeyi bırakıp takıma biraz odaklanırsa büyük rakiplerin çok önemli sorunlar yaşadığı bu dönemde yeni bir Galatasaray dominasyonu ortaya çıkabilir. İlk onbirinde 10 oyuncusu değişmiş Galatasaray'da Fatih Terim 7 ay içinde bu mesajı vermeyi başardı ve topu bir kez daha yönetime pasladı. Canaydın ve Polat yönetimlerinin devamı mı? Yoksa Faruk Süren vizyonu mu? Galatasaray'da cevaplanması gereken soru bu ve bu problemin öznesi Fatih Terim değil.

http://tr.eurosport.com/futbol/spor-toto-super-lig/2011-2012/fatih-terim_sto3198029/story.shtml 

Kaos Kuramı- 2.bölüm

""

Dynamical Systems

A dynamical system is any process that moves or changes in time.  Dynamical systems occur in every branch of science.  For example:  the motion of the planets, the weather, the stock market, and finally chemical reactions. 

The motions of the planets in celestial mechanics are a good example of a process of something that evolving in time.  The weather is another system that changes dramatically over time. 

Similarly, the Stock Market, economic systems are good examples of very chaotic at times, dynamical systems.  Finally, in chemistry, simple chemical reactions are examples of processes that evolve in time.

Can you predict what will happen?

When a scientist confronts a dynamical system, the question that she or he ask is can I predict what will happen in the future, Can I predict how this motion will evolve in time?  If you look at some of the examples giving of dynamical systems, it is clear that some of them are predictable.

The motion of the planets for example; you know that in the morning when you wake up the sun will rise.  Similarly, chemical reactions, you know that tomorrow morning when you put crème in your coffee, the resulting chemical reaction will not be an explosion. 

On the other hand, the weather or the stock market, those are examples of dynamical systems that seem to be unpredictable.  The question now, is why are they so unpredictable? 

A person might say I know why the weather and stock market are so unpredictable.  Those are dynamical systems that seem to depend on so many variables, that it would be impossible for anyone to know all of the variables at any one time so to make a prediction.

For example to predict the weather, you would have to know all elements of the weather around the globe instantaneously. You would have to know the barometric pressure, the wind speed and direction everywhere in the globe in order to predict what the weather will be like a week, hence.

The main maxim of science is its ability to relate to cause and effect.  On the basis of the laws of gravitation, for example, astronomical events such as eclipses and the appearances of comets can be predicted thousands of years in advance.

Other natural phenomena, however, appear to be much more difficult to predict.  Although the movements of the atmosphere, for example, obey the laws of physics just as much s the movements of the planets do, weather prediction is still rather problematic. 

We speak of the unpredictable aspects of weather just as if we were talking about rolling dice or letting an air balloon loose to observe its erratic path as the air is ejected.  Since there is no clear relation between cause and effect, such phenomena are said to have random elements.

Yet there was little reason to doubt that precise predictability could, in principle, be achieved.  It was assumed that it was only necessary to gather and process greater quantities of more precise information (e.g., through the use of denser networks of weather stations and more powerful computers dedicated solely to weather analysis).

Some of the first conclusions of chaos theory, however, have recently altered this viewpoint.  Simple deterministic systems with only a few elements can generate random behavior, and that randomness is fundamental; gathering more information does not make it disappear. This fundamental randomness has come to be called chaos.

Similarly, the stock market, to predict where the stock market will go, theoretically at least, you have to know the behavior of all elements of the economy, of all the consumers in the economy.  Clearly these are systems that depend on just too many variables to make a prediction. 

Well, it is certainly true that the weather and the stock market depend on too many variables, but on the other hand, that’s not necessarily the reason that makes these dynamical systems unpredictable. 

It’s one of the most remarkable discoveries of mathematicians in the last thirty years that very simple dynamical systems, systems that depend on only one variable, not billions of variables like meteorology or the economy,

systems that depend on a single variable can behave just as unpredictably, just as turbulently as the weather or the stock market.  That’s what will be discussed more, is how the simple dynamical systems can react or behave in a very strange and chaotic way.

An evident inconsistency is that chaos is deterministic, generated by fixed rules, which do not themselves involve any elements of change (Springer – Verlag 11).  People even talk about deterministic chaos (11). 

In principle, the future is completely determined by the past; but in small doubts, much like minute errors of measurement, which enter into calculations, is amplified, with the effect that even though the behavior is predictable in the short term, it is unpredictable over the long run (11).

A landmark achievement of tremendous, accelerating effect was made about three hundred years ago with the development of calculus by Sir Isaac Newton (1643 – 1727) and Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz (1646 – 1716) (11). 

Through the universal mathematical ideas of calculus, the basis was given with which to they say that successfully model the laws of the movements of planets with as much aspect as that in the development of populations,

the spread of sound through gases, the conduction of heat in media, the interface of magnetism and electricity, or even the path of weather events (11).

Also growing during that time was the secret belief that the terms determinism and predictability were equivalent (11- 12).  Present, past, and the future are joined together by casual relationships;

and along with the views of determinists, the problem of an exact prognosis is only a matter of the difficulty of documenting all the relevant data (12). 

In addition, chaos and order, specifically the causality principle, can be observed in coincidence within the same system (12).  There may be a linear progression of errors characterizing a deterministic system, which is controlled by the causality principle (12).

While, in the same system, there can also be an exponential chain of errors, for example the butterfly effect, indicating that the causality principle breaks down (12).

In other words, one of the lessons coming out of chaos theory is that the soundness of the causality principle is narrowed by the uncertainty principle from one end as well as by the inherent properties of fundamental natural laws from the other end (12). 

SOLAR SYSTEM CHAOS

Chaos theory isn't new to astronomers. Most have long known that the solar system does not "run with the precision of a Swiss watch." Astronomers have uncovered certain kinds of instabilities that occur throughout the solar system in the motions of Saturn's moon Hyperion, in gaps in the asteroid belt between Mars and Jupiter, and in the orbits of the system's planets themselves.

As used by astronomers, the word chaos denotes an abrupt change in some property of an object's orbit. An object behaving in a chaotic manner may, for example, have an orbital eccentricity that varies cyclically within certain limits for thousands or even millions of years, and then abruptly its pattern of variation changes.

The result is a sharp break in the object's history -- its past behavior no longer says anything about its long-term future behavior. For centuries astronomers have tried to compare the solar system to a gigantic clock around the sun.

But they found that their equations never actually predicted the real planets' movement. This problem arises from two points, one theoretical, and the other, practical.

The theoretical difficulty was summed up by Henri Poincare around the turn of this century. He demonstrated that while astronomers can easily predict how any two bodies -- Earth and the Moon, for example -- will travel around their common center of gravity, introducing a third gravitating body (such as another planet or the Sun) prevents a definitive analytical solution to the equations of motion.

This makes the long-term evolution of the system impossible, in principle, to predict. The practical difficulties are the limits of computer power. Even with the help of calculators and desktop computers, the long-term calculations were too lengthy.

The conclusion from all this is that while new real-life chaos discoveries are being made, current computing technology cannot keep up with the pace.

CHAOS AND THE STOCK MARKET

 

According to respected authorities, stock markets are non-linear, dynamic systems. Chaos theory is the mathematics of studying such non-linear, dynamic systems. Chaos analysis has determined that market prices are highly random, but with a trend.

 

The amount of the trend varies from market to market and from time frame to time frame. A concept involved in chaotic systems is fractals. Fractals are objects that are "self-similar" in the sense that the individual parts are related to the whole.

 

A popular example of this is a tree. While the branches get smaller and smaller each is similar in structure to the larger branches and the tree as a whole. Similarly, in market price action, as you look at monthly, weekly, daily, and intra day bar charts, the structure has a similar appearance.

 

Just as with natural objects, as you move in closer and closer, you see more and more detail. Another characteristic of chaotic markets is called "sensitive dependence on initial conditions." This is what makes dynamic market systems so difficult to predict.

 

Because we cannot accurately describe the current situation band because errors in the description are hard to find due to the system's overall complexity, accurate predictions become impossible.

 

Even if we could predict tomorrow's stock market change exactly (which we can't), we would still have zero accuracy trying to predict only twenty days ahead.

A number of thoughtful traders and experts have suggested that those trading with intra day data such as five-minute bar charts are trading random noise and thus wasting their time.

Over time, they are doomed to failure by the costs of trading. At the same time these experts say that longer-term price action is not random. Traders can succeed trading from daily or weekly charts if they follow trends.

The question naturally arises how can short-term data be random and longer-term data not be in the same market? If short-term (random) data accumulates to form long-term data, wouldn't that also have to be random?

As it turns out, such a paradox can exist. A system can be random in the short-term and deterministic in the long term.

Mathematical Dynamical Systems

To simplify the situation, let’s begin by discussing mathematical dynamical systems, a very simple abstraction of the kinds of dynamical systems that arise in nature.

What’s a mathematical dynamical system?  Well, among the simplest mathematical dynamical systems are the so-called Iterated “functions.”

Start with any mathematical expression, for example the square root function and start with any number, say x.   How does one create a mathematical dynamical system?  Well, through the process of iterating this mathematical system.

That is accomplished by taking the initial number x and computing its square root, you get a new number.  Then take that number and compute its square root, you’ll get another new number and so forth.

This is the process of iteration.  It’s a dynamical system.  The numbers are changing in time.  The question to the mathematician is, just as in the case of the scientist, “Can you predict what will happen?”

“Can you predict what will happen when you iterate this function over and over again?”

Now one can easily see that this process is well suited for the use of a computer.  There’s nothing a computer can do better than iterate functions over and over again (VIDEO).

An iterator comes with a bunch of numbers that you can input together with a bunch of functions that you can iterate.  What functions the iterator has is up to whom ever programs the computer or calculator. 

 How does one do the process of iteration?  Well, for the simple minded you can use a calculator for the first few examples.  Well, with the square root example, start by imputing your favorite number into the calculator.

For example, you might put in the number 256.  You then iterate the square root function by pressing the square root button, then computing the square root of 256.  The answer is 16. 

To iterate, you would just do it again.  The square root of 16 is 4 and the square of 4 is 2.  The square root of 2 is 1,41…  Then you may ask, “What happens when we do this over and over again?”

Iterate the square root of 1.41…  Keep hitting the square root button and eventually you’ll see that no matter what number you started with, you’ll always end up with the number 1.

That is an excellent example of an iterated process that is completely predictable.  No matter what number you start with on the square root function, you always end up with the number 1.

Here’s another example:

Let’s take the function x^2.  Start with any number.  Let’s start with the number 2.  When you iterate the squaring function you first get 4.  Square 4, you get 16, square 16 and get 256. 

You can see what happens.  Square 256 and you get 256^2, a rather large number.  You see that upon iteration, repeated squaring when you start with any number greater than 1, it tends to infinity.

Once again, that’s an example of an iterated function whose behavior is completely predictable.

Here’s another example:

Take the sin function.  What happens when you iterate the sin function?  Well, start with any number, say 123 and iterating the sin of 123, you get -.45…  sin of that is -.43…  Iterate the sin again and you get -.41…

And you see what happens.  Iterating the sin function over and over again, eventually yields after 300 or more iterations the number 0.  So if you iterate the sin function, no matter what number you start with, you always end up with the number 0. 

Again, a perfectly predictable iterated process.

Another example: 

Instead of using the sin function, use the cos function.  What happens when you iterate the cos function?  Well let’s see.  Start with any number, say 123 and what do you think happens when you iterate the cos function? 

What happens when you iterate cos over and over again?  It turns out that with no matter what number you start with, when you iterate cos in radians, you always end up with the number .73908…

Where did that number come from?  That will be discussed later on, but for now notice that you know how to iterate or what the result of the iteration of cos will be.  No matter what number you start with, with cos you always end up with that strange number.

There are many dynamical systems that can produce chaos.  However, the focus will now be on only one particular transformation.  It is the quadratic transformation, which comes in different forms, for example, x -> ax(1 – x).

How about iterating the quadratic function 4x(1 – x).  What happens when you iterate this simple quadratic expression?  Well let’s start with any number.  Say the number .4 and what happens when you compute this quadratic expression? 

Now if you plug in .4 into the quadratic expression, you get .96.  Now iterate again and you get .154.  Iterate again and you get .521 and iterate again and you get .998.  Iterate yet another time and you get .008.  Iterate once more and the result is .032.  See the pattern?

Try some more iterating.  Iterate again and the result you get will be .123.  Iterate yet another time and you get .431.  Do it again and get .980, once more and the answer is .078.  See the pattern?  Probably not. Iterate again and you get .288, once more and you get .823. 

There is no pattern whatsoever when you iterate the quadratic expression, because this expression is Chaotic, totally unpredictable.  For all intense and purpose, iterating 4x(1 – x) is a random number generator.

Now most iterators or calculators don’t come with a 4x(1 – x) button, but that’s no problem.  On most computers you can easily program it to iterate a quadratic expression.""

source: http://www.emayzine.com/infoage/math/math3.htm

Kaos Kuramı - 1. Bölüm

Kaos Teorisi

Kaos kuramı, doğada ve toplumda gözlemlenen, rastgele (stochastic) olarak tanımlanan olguları, sayısallaştırıp -bu tip sistemlerin davranışları hakkında matematiksel doğrulukta öngörü ve gözlemlerde bulunmaktadır.

Matematiksel olarak, kısmen hesaplanabilen,fakat kendi içinde bir düzene sahip olan karmaşıklıktır.

Ekolojik sistemlerden ekonomiye kadar pek çok bilim dalı karmaşık ve öngörülemez içeriktedir.

Borsaların uzun süreli ‘davranış’ kayıtlarının kaotik yöntemlerle incelenerek matematiksel modellenmesinin, kısa vadeli sağlıklı borsa hareketi tahminleri yapılmasına imkan vermesi, kaos teorisini daha da ünlendirdi.

Günümüzde, ekonomik ve sosyal sistemlerin davranışlarını incelerken artık kaos biliminin sağladığı veriler ve bu bilime ait matematiksel yöntemler sıklıkla kulanılmaktadır. Canlı sistemlerde, adeta tam bir karmaşa halinde hareket eden beyin dalgaları, kan basıncı dalgalanmaları, epilepsi ve benzeri sinirsel hastalıkların ortaya çıkış düzenleri gibi görünürde rastlantısal olan bir çok hadisenin, aslında belli kurallar ve döngüler içinde gerçekleştiğini, yine kaos biliminin matematiksel formülleri ortaya koydu. Psikiyatri ve sinir bilimleri başta olmak üzere, yaşam bilimlerinin tüm alanları, yaşamın o akıl almaz karmaşıklığının bolca ‘kaos’ ihtiva ettiğini gün geçtikçe daha açık bir biçimde ortaya koyuyorlar.

Nehirde akan suyun oluşturduğu girdapların, uçak kanatlarında oluşan tribülansın ve diğer başka bir çok benzer fenomenin temelinde yine kaotik kuralların yattığı ortaya kondu.

Temel özellikleri:

1.Doğrusal değildir:

sistemin geleceğini belirleyen koşulların kompleksliğinden ,doğrusal sistemler gibi herzaman girdiyle orantılı bir çıktı elde edilemez. sistem öngörülemeyen bir davranış gösterir.

2. Başlangıç koşullarına hassas bağımlılık:

Heizenberg belirsizliği gibi,Laplace'ın lafının "belirli bir zamanda bir cisme etkiyen tüm verileri bilirsen sistemin bir sonraki hareketini tahmin edebilirsin" tam tersi. Çünkü o sisteme etki eden bütün etkenleri aynı zamanda gözlemleyemezsin,bilemezsin.

3.Hesaplanamaz: başlangıç koşullarına hassas bağımlılık , sisteme etkiyen bütün etkileri eş zamanlı ölçemememiz nedeniyle, kaotik sistemlerin belirli bir süre sonra nasıl olacakları hesaplanamaz.

4. self-similarity: Kaotik sistemler,lineer olmamak koşuluyla ve bir periodik döngü olmadan, farklı zaman ölçeklerinde tekrarlayabilirler. Kaotik sistemlerin , saatlik verileri günlük ve aylık verilerine benzer kalıplar içerebilirler.

Bir hologram gibidir...görüntüyü istediğin kadar küçük parçaya bölsen de,ana görüntüde de parçalarında da aynı şekilleri görürsün. (fraktal geometri)

Eğrelti otu modellemesi matlab